如图1,矩形ABCD中,点E为AB边上的动点(不与A,B重合),把△ADE沿DE翻折,点A的对应点为A1,延长...
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如图1,矩形ABCD中,点E为AB边上的动点(不与A,B重合),把△ADE沿DE翻折,点A的对应点为A1,延长EA1交直线DC于点F,再把∠BEF折叠,使点B的对应点B1落在EF上,折痕EH交直线BC于点H.
(1)求*:△A1DE∽△B1EH;
(2)如图2,直线MN是矩形ABCD的对称轴,若点A1恰好落在直线MN上,试判断△DEF的形状,并说明理由;
(3)如图3,在(2)的条件下,点G为△DEF内一点,且∠DGF=150°,试探究DG,EG,FG的数量关系.
【回答】
解:(1)*:由折叠的*质可知:∠DAE=∠DA1E=90°,∠EBH=∠EB1H=90°,∠AED=∠A1ED,∠BEH=∠B1EH,
∴∠DEA1+∠HEB1=90°.
又∵∠HEB1+∠EHB1=90°,
∴∠DEA1=∠EHB1,
∴△A1DE∽△B1EH;
(2)结论:△DEF是等边三角形;
理由如下:
∵直线MN是矩形ABCD的对称轴,
∴点A1是EF的中点,即A1E=A1F,
在△A1DE和△A1DF中
,
∴△A1DE≌△A1DF(SAS),
∴DE=DF,∠FDA1=∠EDA1,
又∵△ADE≌△A1DE,∠ADF=90°.
∴∠ADE=∠EDA1=∠FDA1=30°,
∴∠EDF=60°,
∴△DEF是等边三角形;
(3)DG,EG,FG的数量关系是DG2+GF2=GE2,
理由如下:由(2)可知△DEF是等边三角形;将△DGE逆时针旋转60°到△DG'F位置,如解图(1),
∴G'F=GE,DG'=DG,∠GDG'=60°,
∴△DGG'是等边三角形,
∴GG'=DG,∠DGG'=60°,
∵∠DGF=150°,
∴∠G'GF=90°,
∴G'G2+GF2=G'F2,
∴DG2+GF2=GE2,
知识点:勾股定理
题型:解答题
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