如图,四面体ABCD中,平面DAC⊥底面ABC,AB=BC=AC=4,AD=CD=,O是AC的中点,E是BD的...
问题详情:
如图,四面体ABCD中,平面DAC⊥底面ABC,AB=BC=AC=4,
AD=CD=,O是AC的中点,E是BD的中点.
(1)*:DO⊥底面ABC;
(2)求二面角D-AE-C的余弦值.
【回答】
1)*:∵ AD=CD=, O是AC的中点,
∴ DO⊥AC.
∵ 平面DAC⊥底面ABC,平面DAC∩底面ABC=AC,
∴ DO⊥底面ABC. ………………………………4分
(2)解:由条件易知DO⊥BO,BO⊥AC.
OA=OC=OD=2, OB=
如图,以点O为坐标原点,OA为x轴,
OB为y轴,OC为z轴建立空间直角坐标系.
则,,,
,,
,,. ……………6分
设平面ADE的一个法向量为,
则 即
令,则,所以. ……………8分
同理可得平面AEC的一个法向量. ……………10分
.
因为二面角D-AE-C的平面角为锐角,所以二面角D-AE-C的余弦值为. ……12分
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题
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