已知椭圆C:(a>b>0)上任一点P到两个焦点的距离的和为2,P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为-.设直线l过...
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已知椭圆C: (a>b>0)上任一点P到两个焦点的距离的和为2,P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为-.设直线l过椭圆C的右焦点F,交椭圆C于两点A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)若 (O为坐标原点),求|y1-y2|的值;
(2)当直线l与两坐标轴都不垂直时,在x轴上是否总存在点Q,使得直线QA,QB的倾斜角互为补角?若存在,求出点Q坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
又S△AOB=|y1-y2|×1,故|y1-y2|=4.(7分)
(2)假设存在一点Q(m,0),使得直线QA,QB的倾斜角互为补角,
依题意可知直线l斜率存在且不为零,
直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0),
由消去y得(3k2+2)x2-6k2x+3k2-6=0,(9分)
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
∵直线QA,QB的倾斜角互为补角,
∴kQA+kQB=0,
又y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),
代入上式可得2x1x2+2m-(m+1)(x1+x2)=0,
即2m-6=0,∴m=3,
∴存在Q(3,0)使得直线QA,QB的倾斜角互为补角.(16分)
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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