已知椭圆(a>b>0)的离心率为,过椭圆的左、右焦点分别作倾斜角为的直线,分别交椭圆于A,B和C,D两点,当时...
问题详情:
已知椭圆(a>b>0)的离心率为,过椭圆的左、右焦点分别作倾斜角为的直线,分别交椭圆于A,B和C,D两点,当时,直线AB与CD之间的距离为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若AB不与x轴重合,点P在椭圆上,且满足(t>0).若,求直线AB的方程.
【回答】
(1);(2).
【分析】
(1)当时,直线AB与CD之间的距离为,得,所以,由椭圆C的离心率为,,可求椭圆方程.(2)先验*直线的斜率不存在时,不满足题意,当直线的斜率存在时,设方程为,联立直线和椭圆方程,设,由,把代入椭圆方程得,即可求AB方程.
【详解】
解:(1)设,由之间的距离为,得,所以,
由椭圆C的离心率为,得,所以,,
所以椭圆C的标准方程为.
(2)若直线的斜率不存在,则易得,,得,显然点不在椭圆上,舍去
因此设直线的方程为,设,
将直线的方程与椭圆的方程联立,整理得,
因为,所以,
则由,
得
将P点坐标代入椭圆C的方程,得;
将带入等式得,
因此所求直线AB的方程为
【点睛】
考查椭圆方程的求法,在直线和椭圆的位置关系中求满足一定条件的直线方程的方法,难题
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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