已知抛物线的准线过椭圆C:(a>b>0)的左焦点F,且点F到直线l:(c为椭圆焦距的一半)的距离为4.(1)求...
问题详情:
已知抛物线的准线过椭圆C:(a>b>0)的左焦点F,且点F到直线l:(c为椭圆焦距的一半)的距离为4.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点F做直线与椭圆C交于A,B两点,P是AB的中点,线段AB的中垂线交直线l于点Q.若,求直线AB的方程.
【回答】
(1);(2)或.
【分析】
(1)由抛物线的准线方程求出的值,确定左焦点坐标,再由点F到直线l:的距离为4,求出即可;
(2)设直线方程,与椭圆方程联立,运用根与系数关系和弦长公式,以及两直线垂直的条件和中点坐标公式,即可得到所求直线的方程.
【详解】
(1)抛物线的准线方程为,
,直线,点F到直线l的距离为,
,
所以椭圆的标准方程为;
(2)依题意斜率不为0,又过点,设方程为,
联立,消去得,,
,设,
,
,
,
线段AB的中垂线交直线l于点Q,所以横坐标为3,
,,
,平方整理得,
解得或(舍去),,
所求的直线方程为或.
【点睛】
本题考查椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系,要熟练应用根与系数关系、相交弦长公式,合理运用两点间的距离公式,考查计算求解能力,属于中档题.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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