已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为2,且过点A(,).(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)已知l:y=kx-1,是...
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已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为2,且过点A(,). (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)已知l:y=kx-1,是否存在k使得点A关于l的对称点B(不同于点A)在椭圆C上?若存在求出此时直线l的方程,若不存在说明理由.
【回答】
解:(Ⅰ)椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为2,∴c=,则a2-b2=2…①, 椭圆过点A(,).…②,解①②可得a2=3,b2=1,∴椭圆的方程: (Ⅱ)法1:当k=0时,直线l:y=-1,点不在椭圆上;
当k≠0时,可设直线,即2x+2ky-3-k=0 代入整理得(4k2+12)y2-4k(k+3)y+(k+3)2-12=0 因为,所以 若A,B关于直线l对称, 则其中点在直线y=kx-1上,所以,解得k=1 因为此时点在直线l上,所以对称点B与点A重合,不合题意 所以不存在k满足条件. 法2:设AB:x=-ky+m,代入椭圆方程化简得(k2+3)y2-2kmy+m2-3=0,,所以 若A,B关于直线l对称,则其中点在直线y=kx-1上, 所以,即2km=k2+3.又在直线AB:x=-ky+m上, 所以2m-k=3,消m得(3+k)k=k2+3,所以k=1 ,因为此时点在直线l上, 所以对称点B与点A重合,不合题意,所以不存在k满足条件.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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