已知椭圆的离心率,且椭圆过点.(I)求椭圆的标准方程;(II)已知点为椭圆的下顶点,为椭圆上与不重合的两点,若...
问题详情:
已知椭圆的离心率,且椭圆过点.
(I)求椭圆的标准方程;
(II)已知点为椭圆的下顶点,为椭圆上与不重合的两点,若直线与直线的斜率之和为,试判断是否存在定点,使得直线恒过点,若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
解析:(I)∵椭圆的离心率,∴,即,
∵点在椭圆上,∴,由解得,
∴椭圆的标准方程为.
(II)由(I)知,当直线的斜率存在时,设直线的方程为,
代入得,,∴,即.设,则,
∵直线与直线的斜率之和为,
∴ ,整理得,
∴直线的方程为,显然直线经过定点.
当直线的斜率不存在时,设直线的方程为,
∵直线与直线的斜率之和为,设,则,
∴,解得
此时直线的方程为,显然直线经过定点.
综上,存在定点,使得直线恒过点.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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