在平面直角坐标，直线l：y=x﹣3经过椭圆E：（a＞b＞0）的一个焦点，且点（0，b）到直线l的距离为2．（1...

问题详情：

在平面直角坐标，直线l：y=x﹣3经过椭圆E：（a＞b＞0）的一个焦点，且点（0，b）到直线l的距离为2．

（1）求椭圆E的方程；

（2）A、B、C是椭圆上的三个动点A与B关于原点对称，且|AC|=|CB|．问△ABC的面积是否存在最小值？若存在，求此时点C的坐标；若不存在，说明理由．

【回答】

【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题．

【分析】（1）先求出c，再利用点（0，b）到直线l的距离为2，求出b，从而可求a，即可得出椭圆E的方程；

（2）分类讨论，直线AB的斜率存在且不为0时，设AB：y=kx，代入椭圆方程，求出A的坐标，同理求出C的坐标，表示出面积，利用基本不等式，即可得出结论．

【解答】解：（1）对于直线l：y=x﹣3，令y=0，可得x=，

∴焦点为（，0），

∴c=，

∵点（0，b）到直线l的距离为2，

∴=2，

∵b＞0，

∴b=1，

∴a=2，

∴椭圆E的方程；

（2）①当AB为长轴（或短轴）时，由题意，C是椭圆的上下顶点（或左右顶点），；

②当直线AB的斜率存在且不为0时，设AB：y=kx，代入椭圆方程，可得，

∵|AC|=|CB|，O为AB的中点，

∴OC⊥AB，

∴直线OC的方程为y=﹣，

同理可得，

∴，，

∴S△ABC=2S△OAC=|OA||OC|=≥=，

当且仅当1+4k2=4+k2，即k=±1时取等号，

∴k=±1时，△ABC的面积最小值，

此时，C（，±）或C（﹣，±）．

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题