已知椭圆C:的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线与椭圆C交于A、B两点...
问题详情:
已知椭圆C:的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线与椭圆C交于A、B两点,以弦为直径的圆过坐标原点,试探讨点到直线的距离是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,说明理由.
【回答】
解:(1)设椭圆的半焦距为,依题意 , …………… 3分
所求椭圆方程为.……………………………………………………… 4分
(2)设,.
①当轴时,设方程为:,此时两点关于轴对称,
又以为直径的圆过原点,设代人椭圆方程得:………………6分
②当与轴不垂直时,
设直线的方程为.联立,
整理得,
,.…………………………………………………9分
又。
由以为直径的圆过原点,则有。 即: 故满足: 得: …………………….10分
所以=。又点到直线的距离为: 。
综上所述:点到直线的距离为定值。…………………………………………13分
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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