已知椭圆C:=1()的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于...
问题详情:
已知椭圆C:=1()的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.
(Ⅰ) 求椭圆C的方程;
(Ⅱ) 设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为,求△AOB面积的最大值.
【回答】
解:(Ⅰ)设椭圆的半焦距为,依题意, ………………1分
∴ ………………2分 ∴所求椭圆方程为. ………………3分 (Ⅱ)解法一:设 (i)当轴时,,; ………………4分 (ii)当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为 由已知,得 ………………6分 将代入椭圆方程,整理得
恒成立 ∴ ∴ ………………8分 令
,
当,即时“=”成立.
∴…………………………………………………………………………11分
∴当最大时,面积取最大值 ……………12分
解法二:(Ⅱ)设,(1)当斜率为0时,……………4分
(2)当斜率不为0时,的方程可设为
因:到的距离为,则,得………………6分
将代入,整理得:
即得……………………8分
∴
令,则
∴
当,即时,
此时,即,满足
∴当最大时,面积取最大值
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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