如图,椭圆=1(a>b>0)的上,下两个顶点为A,B,直线l:y=-2,点P是椭圆上异于点A,B的任意一点,连...
问题详情:
如图,椭圆=1(a>b>0)的上,下两个顶点为A,B,直线l:y=-2,点P是椭圆上异于点A,B的任意一点,连接AP并延长交直线l于点N,连接PB并延长交直线l于点M,设AP所在的直线的斜率为k1,BP所在的直线的斜率为k2.若椭圆的离心率为,且过点A(0,1).
(1)求k1·k2的值;
(2)求MN的最小值;
(3)随着点P的变化,以MN为直径的圆是否恒过定点?若过定点,求出该定点;如不过定点,请说明理由.
【回答】
解 (1)因为e==,b=1,解得a=2,所以椭圆C的标准方程为=1.(2分)
设椭圆上点P(x0,y0),有=1,
所以k1·k2= (2)因为M,N在直线l:y=-2上,设M(x1,-2),N(x2,-2),
由方程知+y2=1知,A(0,1),B(0,-1),
所以KBM·kAN= (6分)
又由(1)知kAN·kBM=k1·k2=-,所以x1x2=-12,(8分)
不妨设x1<0,则x2>0,则
MN=|x1-x2|=x2-x1=x2+=4,
所以当且仅当x2=-x1=2时,MN取得最小值4.(10分)
(3)设M(x1,-2),N(x2,-2),
则以MN为直径的圆的方程为
(x-x1)(x-x2)+(y+2)2=0,(12分)
即x2+(y+2)2-12-(x1+x2)x=0,若圆过定点,
则有x=0,x2+(y+2)2-12=0,解得x=0,y=-2±2,
所以,无论点P如何变化,以MN为直径的圆恒过定点(0,-2±2).(16分)
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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