如图椭圆C的方程为,A是椭圆C的短轴左顶点,过A点作斜率为﹣1的直线交椭圆于B点,点P(1,0),且BP∥y轴...
问题详情:
如图椭圆C的方程为,A是椭圆C的短轴左顶点,过A点作斜率为﹣1的直线交椭圆于B点,点P(1,0),且BP∥y轴,△APB的面积为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)在直线AB上求一点M,使得以椭圆C的焦点为焦点,且过M的双曲线E的实轴最长,并求此双曲线E的方程.
【回答】
解答: 解:(1),又∠PAB=45°,AP=PB,故AP=BP=3.
∵P(1,0),A(﹣2,0),B(1,﹣3)
∴b=2,将B(1,﹣3)代入椭圆得:得a2=12,
所求椭圆方程为.
(2)设椭圆C的焦点为F1,F2,
则易知F1(0,﹣)F2(0,),
直线AB的方程为:x+y+2=0,因为M在双曲线E上,要双曲线E的实轴最大,只须||MF1|﹣|MF2||最大,设F1(0,﹣)关于直线AB的对称点为F1'(﹣2,﹣2),则直线F2F1′与直线的交点为所求M,
因为F2F1′的方程为:,联立得M(1,﹣3)
又2a′=||MF1|﹣|MF2||=||MF1'|﹣|MF2||≤|F2F1'|
==2,故,
故所求双曲线方程为:
知识点:常用逻辑用语
题型:解答题
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