如图，在平面坐标系中，直线y=﹣x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，动点P（a，b）在第一象限内，由点P向x...

问题详情：

如图，在平面坐标系中，直线y=﹣x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，动点P（a，b）在第一象限内，由点P向x轴，y轴所作的垂线PM，PN（垂足为M，N）分别与直线AB相交于点E，点F，当点P（a，b）运动时，矩形PMON的面积为定值2．当点E，F都在线段AB上时，由三条线段AE，EF，BF组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为S1，△OEF的面积为S2。试探究：是否存在最大值？若存在，请求出该最大值；若不存在，请说明理由。

【回答】

存在。

∵四边形OAPN是矩形，∠OAF=∠EBO=45°，

∴△AME、△BNF、△PEF为等腰直角三角形。

∵E点的横坐标为a，E（a，2﹣a），

∴AM=EM=2﹣a。

∴AE2=2（2﹣a）2=2a2﹣8a+8。

∵F的纵坐标为b，F（2﹣b，b），

∴BN=FN=2﹣b。∴BF2=2（2﹣b）2=2b2﹣8b+8。

∵PF=PE=a+b﹣2，

∴EF2=2（a+b﹣2）2=2a2+4ab+2b2﹣8a﹣8b+8。

∵ab=2，

∴EF2=2a2+2b2﹣8a﹣8b+16。

∴EF2=AE2+BF2。

∴线段AE、EF、BF组成的三角形为直角三角形，且EF为斜边。

∴此三角形的外接圆的面积为。

∵，

∴S2=S梯形OMPF﹣S△PEF﹣S△OME，=（PF+ON）•PM﹣PF•PE﹣OM•EM

= [PF（PM﹣PE）+OM（PM﹣EM）]= （PF•EM+OM•PE）=PE（EM+OM）

=（a+b﹣2）（2﹣a+a）=a+b﹣2。

∴。

设m=a+b﹣2，则，

∵，

∴当时，有最大值，最大值为。

【考点】单动点问题，等腰直角三角形的判定和*质，勾股定理和逆定理，二次函数的*质，偶次幂的非负*质，转换思想的应用。

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：综合题