已知函数,.(为常数,为自然对数的底,) (Ⅰ)当时,求的单调区间; (Ⅱ)若函数在区间上无零点,求的最小值...
问题详情:
已知函数,.(为常数,为自然对数的底,)
(Ⅰ)当时,求的单调区间;
(Ⅱ)若函数在区间上无零点,求的最小值;
(Ⅲ)若对任意给定的,在上总存在两个不同的,使得
成立,求的取值范围.
【回答】
解:(Ⅰ)当时,则.
令得;令得
故的单调递减区间为,单调递增区间为 ……………2分
(Ⅱ)∵函数在区间上不可能恒成立,故要使函数在区间上无零点,只要对,恒成立。即对,恒成立。……3分
令()则 …4分
再令,则,∵,∴
故函数在区间上单调递减,∴
即,∴函数在区间上单调递增,∴ …5分
故只要函数在区间上无零点,所以 …6分
(Ⅲ)∵,当,,∴函数在区间上是增函数。
∴ …7分
当时,,不符题意
当时,
当时,,由题意有在上不单调,故
∴① …8分
当变化时,变化情况如下:
0 | + | ||
单调递减 | 最小值 | 单调递增 |
又因为时,
…9分
所以,对于给定的,在在上总存在两个不同的,使得成立,当且仅当满足下列条件
即②③ …10分
令
,令,则
故时,,函数单调递增
时,,函数单调递减
所以对任意的, …11分
由③得④,由①④当时,在上总存在两个不同的,使得成立
知识点:基本初等函数I
题型:解答题
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