已知函数.(1)求函数的单调区间;(2)当时,函数在上的最小值为,若不等式有解,求实数的取值范围.
问题详情:
已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)当时,函数在上的最小值为,若不等式有解,求实数的取值范围.
【回答】
(1)*见解析;(2)
【解析】
(1)求出导函数,然后根据的符号进行分类讨论,并借助解不等式组的方法得到单调区间;(2)根据(1)中的结论求出当时,函数在上的最小值,因此问题转化为有解,即有解,构造函数,求出函数的最小值即可得到所求.
【详解】(1)由,
得,
①当时,
令,得,
所以,或,即或,
解得或.
令,得,
所以或,即或,
解得或.
所以函数的单调递增区间为,;单调递减区间为.
②当时,
令,得,由①可知;
令,得,由①可知或.
所以函数的单调递增区间为;单调递减区间为,.
综上可得,
当时,的单调递增区间为,;单调递减区间为.
当时,的单调递增区间为;单调递减区间为,.
(2)由(1)可知若,则当时,函数在上单调递减,在上单调递增,
所以,
所以不等式有解等价于有解,
即有解,
设,则,
所以当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
所以的极小值也是最小值,且最小值为,
从而,
所以实数的取值范围为.
【点睛】(1)求函数的单调区间时,若函数解析式中含有字母、并且字母对结果产生影响时,需要对字母进行分类讨论,讨论时要选择合适的标准,同时分类时要做到不重不漏.
(2)解答不等式有解的问题时,常用的方法是分离参数后转化为求函数的最值的问题,解题时要用到以下结论:在上有解;在上有解.若函数的最值不存在,则可利用函数值域的端点值来代替.
知识点:不等式
题型:解答题
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