已知函数.(Ⅰ)求函数的单调区间;(Ⅱ)若函数在上是减函数,求实数的最小值;(Ⅲ)若存在,使成立,求实数的取值...
问题详情:
已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若函数在上是减函数,求实数的最小值;
(Ⅲ)若存在,使成立,求实数的取值范围.
【回答】
解:已知函数的定义域均为,且.
(Ⅰ)函数 …………………………………………1分
当且时,;当时,.所以函数的单调减区间是,增区间. ……………………………………3分
(Ⅱ)因在上为减函数,故在上恒成立,也即当时,. ………………………5分
又,
故当,即时,. ……………………7分
所以,于是,故的最小值为. ………………………8分
(Ⅲ)命题“若存在使成立”等价于“当时,有” .
由(Ⅱ)知,当时,,所以.
故问题等价于:“当时,有” ………………10分
①当时,由(Ⅱ)知,在上为减函数,
则,故.……………12分
②解法一:
当,时,,由(Ⅱ)知,函数在上是减函数,,所以,与矛盾,不合题意.
综上,得实数的取值范围. …………………14分
解法二:
当时,由于在上为增函数,故的值域为,即.
(ⅰ)若,即时,由的单调*和值域知,存在唯一,使,且满足:当时,,为减函数;当时,,为增函数,所以.
所以,
与矛盾,不合题意.……………………………………………13分
(ⅱ)若,在恒成立,故在上为增函数,于是,,不合题意.
综上,得实数的取值范围.
知识点:不等式
题型:解答题
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