如图，AB=16，O为AB中点，点C在线段OB上（不与点O，B重合），将OC绕点O逆时针旋转270°后得到扇形...

问题详情：

如图，AB=16，O为AB中点，点C在线段OB上（不与点O，B重合），将OC绕点O逆时针旋转270°后得到扇形COD，AP，BQ分别切优弧于点P，Q，且点P，Q在AB异侧，连接OP．

（1）求*：AP=BQ；

（2）当BQ=4时，求扇形COQ的面积及的长（结果保留π）；

（3）若△APO的外心在扇形COD的内部，请直接写出OC的取值范围．

【回答】

（1）*：连接OQ，如图所示．

∵AP、BQ是⊙O的切线，

∴OP⊥AP，OQ⊥BQ，

∴∠APO=∠BQO=90°．

在Rt△APO和Rt△BQO中，，

∴Rt△APO≌Rt△BQO（HL），

∴AP=BQ．

（2）解：∵Rt△APO≌Rt△BQO，

∴∠AOP=∠BOQ，

∴P、O、Q三点共线．

∵在Rt△BOQ中，cosB===，

∴∠B=30°，∠BOQ=60°，

∴OQ=OB=4，

∴S扇形COQ==π．

∵∠COD=90°，

∴∠QOD=90°+60°=150°，

∴优弧的长==π．

（3）解：设点M为Rt△APO的外心，则M为OA的中点，

∵OA=8，

∴OM=4，

∴当△APO的外心在扇形COD的内部时，OM＜OC，

∴OC的取值范围为4＜OC＜8．

知识点：弧长和扇形面积

题型：解答题