如图，点O是边长为4的等边△ABC的内心，将△OBC绕点O逆时针旋转30°得到△OB1C1，B1C1交BC于点...

问题详情：

如图，点O是边长为4的等边△ABC的内心，将△OBC绕点O逆时针旋转30°得到△OB1C1，B1C1交BC于点D，B1C1交AC于点E，则DE=　　            ．

【回答】

6﹣2．.分析： 令OB1与BC的交点为F，B1C1与AC的交点为M，过点F作FN⊥OB于点N，根据等边三角形的*质以及内心的*质找出△FOB为等腰三角形，并且△BFO∽△B1FD，根据相似三角形的*质找出B1D的长度，再通过找全等三角形以及解直角三角形求出C1E的长度，由此即可得出DE的长度．

 解：令OB1与BC的交点为F，B1C1与AC的交点为M，过点F作FN⊥OB于点N，如图所示．

∵将△OBC绕点O逆时针旋转30°得到△OB1C1，

∴∠BOF=30°，

∵点O是边长为4的等边△ABC的内心，

∴∠OBF=30°，OB=AB=4，

∴△FOB为等腰三角形，BN=OB=2，

∴BF===OF．

∵∠OBF=∠OB1D，∠BFO=∠B1FD，

∴△BFO∽△B1FD，

∴．

∵B1F=OB1﹣OF=4﹣，

∴B1D=4﹣4．

在△BFO和△CMO中，有，

∴△BFO≌△CMO（ASA），

∴OM=BF=，C1M=4﹣，

在△C1ME中，∠C1ME=∠MOC+∠MCO=60°，∠C1=30°，

∴∠C1EM=90°，

∴C1E=C1M•sin∠C1ME=（4﹣）×=2﹣2．

∴DE=B1C1﹣B1D﹣C1E=4﹣（4﹣4）﹣（2﹣2）=6﹣2．

故*为：

知识点：相似三角形

题型：填空题