如图,抛物线y=ax2+bx﹣a﹣b(a<0,a、b为常数)与x轴交于A、C两点,与y轴交于B点,直线AB的函...
问题详情:
如图,抛物线y=ax2+bx﹣a﹣b(a<0,a、b为常数)与x轴交于A、C两点,与y轴交于B点,直线AB的函数关系式为y=x+.
(1)求该抛物线的函数关系式与C点坐标;
(2)已知点M(m,0)是线段OA上的一个动点,过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点,当m为何值时,△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形?
(3)在(2)问条件下,当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时,动点M相应位置记为点M′,将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON(旋转角在0°到90°之间);
i:探究:线段OB上是否存在定点P(P不与O、B重合),无论ON如何旋转,始终保持不变,若存在,试求出P点坐标;若不存在,请说明理由;
ii:试求出此旋转过程中,(NA+NB)的最小值.
【回答】
【考点】HF:二次函数综合题.
【分析】(1)根据已知条件得到B(0,),A(﹣6,0),解方程组得到抛物线的函数关系式为:y=﹣x2﹣x+,于是得到C(1,0);
(2)由点M(m,0),过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点,得到D(m, m+),当DE为底时,作BG⊥DE于G,根据等腰三角形的*质得到EG=GD=ED,GM=OB=,列方程即可得到结论;
(3)i:根据已知条件得到ON=OM′=4,OB=,由∠NOP=∠BON,特殊的当△NOP∽△BON时,根据相似三角形的*质得到=,于是得到结论;
ii:根据题意得到N在以O为圆心,4为半径的半圆上,由(i)知, =,得到NP=NB,于是得到(NA+NB)的最小值=NA+NP,此时N,A,P三点共线,根据勾股定理得到结论.
【解答】解:(1)在y=x+中,令x=0,则y=,令y=0,则x=﹣6,
∴B(0,),A(﹣6,0),
把B(0,),A(﹣6,0)代入y=ax2+bx﹣a﹣b得,
∴,
∴抛物线的函数关系式为:y=﹣x2﹣x+,
令y=0,则=﹣x2﹣x+=0,
∴x1=﹣6,x2=1,
∴C(1,0);
(2)∵点M(m,0),过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点,
∴D(m, m+),当DE为底时,
作BG⊥DE于G,则EG=GD=ED,GM=OB=,
∴m+(﹣m2﹣m++m+)=,
解得:m1=﹣4,m2=9(不合题意,舍去),
∴当m=﹣4时,△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形;
(3)i:存在,
∵ON=OM′=4,OB=,
∵∠NOP=∠BON,
∴当△NOP∽△BON时, =,
∴不变,
即OP==3,
∴P(0,3)
ii:∵N在以O为圆心,4为半径的半圆上,由(i)知, =,
∴NP=NB,
∴(NA+NB)的最小值=NA+NP,
∴此时N,A,P三点共线,
∴(NA+NB)的最小值==3.
知识点:各地中考
题型:综合题
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