如图,二次函数(a<0)与x轴交于A、C两点,与y轴交于点B,P为抛物线的顶点,连接AB,已知OA:OC...
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如图,二次函数 (a < 0) 与 x 轴交于 A、C 两点,与 y 轴交于点 B,P 为 抛物线的顶点,连接 AB,已知 OA:OC=1:3.
(1)求 A、C 两点坐标;
(2)过点 B 作 BD∥x 轴交抛物线于 D,过点 P 作 PE∥AB 交 x 轴于 E,连接 DE,
①求 E 坐标;
②若 tan∠BPM=,求抛物线的解析式.
【回答】
(1)A(-1,0),C(3,0);(2)① E(-,0);②原函数解析式为:.
【分析】
(1)由二次函数的解析式可求出对称轴为x=1,过点P作PE⊥x轴于点E,所以设A(-m,0),C(3m,0),结合对称轴即可求出结果;
(2) ①过点P作PM⊥x轴于点M,连接PE,DE,先*△ABO△EPM得到,找出OE=,再根据A(-1,0)代入解析式得:3a+c=0,c=-3a,即可求出OE的长,则坐标即可找到;
②设PM交BD于点N;根据点P(1,c-a),BN‖AC,PM⊥x轴表示出PN=-a,再由tan∠BPM=求出a,结合(1)知道c,即可知道函数解析式.
【详解】
(1)∵二次函数为:(a<0),
∴对称轴为,
过点P作PM⊥x轴于点M,
则M(1,0),M为AC中点,
又OA:OC=1:3,
设A(-m,0),C(3m,0),
∴,
解得:m=1,
∴A(-1,0),C(3,0),
(2)①做图如下:
∵PE∥AB,
∴∠BAO=∠PEM,
又∠AOB=∠EMP,
∴△ABO△EPM,
∴ ,
由(1)知:A(-1,0),C(3,0),M(1,0),B(0,c),P(1,c-a),
∴,
∴OE=,
将A(-1,0)代入解析式得:3a+c=0,
∴c=-3a,
∴ ,
∴E(-,0);
②
设PM交BD于点N;
∵(a<0),
∴x=1时,y=c-a,即点P(1,c-a),
∵BN‖AC,PM⊥x轴
∴NM= BO=c,BN=OM=1,
∴PN=-a,
∵tan∠BPM=,
∴tan∠BPM=,
∴PN=,
即a=-,
由(1)知c=-3a,
∴c=;
∴原函数解析式为:.
【点睛】
此题考查了抛物线与x轴的交点;二次函数的*质,待定系数法求二次函数解析式.
知识点:二次函数单元测试
题型:解答题
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