已知函数，为的导数．*：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点．

问题详情：

已知函数，为的导数．*：

（1）在区间存在唯一极大值点；

（2）有且仅有2个零点．

【回答】

（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）求得导函数后，可判断出导函数在上单调递减，根据零点存在定理可判断出，使得，进而得到导函数在上的单调*，从而可*得结论；（2）由（1）的结论可知为在上的唯一零点；当时，首先可判断出在上无零点，再利用零点存在定理得到在上的单调*，可知，不存在零点；当时，利用零点存在定理和单调*可判断出存在唯一一个零点；当，可*得；综合上述情况可*得结论.

【详解】

（1）由题意知：定义域为：且

令，

，

在上单调递减，在上单调递减

在上单调递减

又，

，使得

当时，；时，

即在上单调递增；在上单调递减

则为唯一的极大值点

即：在区间上存在唯一的极大值点.

（2）由（1）知：，

①当时，由（1）可知在上单调递增

    在上单调递减

又

为在上的唯一零点

②当时，在上单调递增，在上单调递减

又   

在上单调递增，此时，不存在零点

又

，使得

在上单调递增，在上单调递减

又，

在上恒成立，此时不存在零点

③当时，单调递减，单调递减

在上单调递减

又，

即，又在上单调递减

在上存在唯一零点

④当时，，

即在上不存在零点

综上所述：有且仅有个零点

【点睛】

本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调*说明在区间内零点的唯一*，二者缺一不可.

知识点：导数及其应用

题型：解答题