已知函数，，为的导数，且.*：（1）在内有唯一零点；（2）.（参考数据：，，，，.）

问题详情：

已知函数，，为的导数，且.

*：

（1）在内有唯一零点；

（2）.

（参考数据：，，，，.）

【回答】

解：

（1）g(x)＝f¢(x)＝xcosx＋sinx，

所以x∈(0，]时，g(x)＞0，即g(x)在(0，]内没有零点．               …2分 x∈(，π)时，g¢(x)＝2cosx－xsinx， 因为cosx＜0，xsinx＞0，从而g¢(x)＜0， 所以g(x)在(，π)上单调递减， 又g(2)＝(2＋tan2)cos2＞0，g()＝－＋＜0， 所以g(x)在(2，)内有唯一零点t．                                 …6分

（2）由（1）得，

x∈(0，t)时，g(x)＞0，所以f¢(x)＞0，即f(x)单调递增； x∈(t，π)时，g(x)＜0，所以f¢(x)＜0，即f(x)单调递减，

即f(x)的最大值为f(t)＝tsint． 由f¢(t)＝tcost＋sint＝0得t＝－tant， 所以f(t)＝－tant·sint， 因此f(t)－2＝

＝ ＝．                                      …9分

因为t∈(2，)，所以cost∈(－，cos2)，

从而(cos2－1)2－2＝(－1.4161)2－()2＞0， 即＜0， 所以f(t)－2＜0， 故f(x)＜2．                                                       …12分

知识点：三角函数

题型：解答题