为抛物线的焦点,过点的直线与交于、两点,的准线与轴的交点为,动点满足.(1)求点的轨迹方程;(2)当四边形的面...
问题详情:
为抛物线的焦点,过点的直线与交于、两点,的准线与轴的交点为,动点满足.
(1)求点的轨迹方程;
(2)当四边形的面积最小时,求直线的方程.
【回答】
.解:(I)抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),∴E(﹣1,0).
设直线l的方程为x﹣my﹣1=0.
联立方程组,消元得:y2﹣4my﹣4=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),则y1+y2=4m,x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2.
∴AB的中点坐标为M(2m2+1,2m).
∵=+=2,∴M为EP的中点.
∴,∴,即y2=4x﹣12.
∴点P的轨迹方程为y2=4x﹣12. ........6分
(II)由(I)得y1+y2=4m,y1y2=﹣4.
∴|AB|===4(m2+1).
E到直线l:x﹣my﹣1=0的距离d=,
∴S△ABE=•|AB|•d=4,
∵=+,∴四边形EAPB是平行四边形,
∴平行四边形EAPB的面积S=2S△ABE=8.
∴当m=0时,S取得最小值8.
此时直线l的方程为x﹣1=0..........12分
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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