已知,,边所在直线的斜率之积为定值,(1)求动点的轨迹方程;(2)当时,过点的直线与曲线相交于两点,求两点的中...
问题详情:
已知,,边所在直线的斜率之积为定值,
(1)求动点的轨迹方程;
(2)当时,过点的直线与曲线相交于两点,求两点的中点的轨迹方程
【回答】
(1)当时,动点的轨迹方程为,
当时,动点的轨迹方程为
当时,动点的轨迹方程为
当时,动点的轨迹方程为
当时,动点的轨迹方程为
(2)或
【解析】试题分析:(1)以边所在直线为轴,以边的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系,设点的坐标为,由可得,讨论的值可得动点的轨迹方程;(2)由可得,,韦达定理可得,消去参数可得,再考虑动点坐标的取值范围可得结果.
试题解析:以边所在直线为轴,以边的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系
则
设点的坐标为,
则
当时,动点的轨迹方程为,
表示轴所在直线去掉两点剩下的部分
当时,动点的轨迹方程为
表示焦点在轴上的双曲线去掉两点剩下的部分
当时,动点的轨迹方程为
表示焦点在轴上的椭圆去掉两点剩下的部分
当时,动点的轨迹方程为
表示焦点在轴上的椭圆去掉两点剩下的部分
当时,动点的轨迹方程为
表示以为直径的圆去掉两点剩下的部分
(2)当时,动点的轨迹方程为,
当直线的斜率不存在时,显然不可能与有交点,舍去;
当直线的斜率存在时,设的方程为,设,
联立方程组,
消去得:
由题意得:是此方程的解
所以
所以
,所以得
又直线与动点的轨迹方程有两个不同的焦点,
则且且,
或
所以两点的中点的轨迹方程为
或
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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