已知曲线上的点与定点的距离与它到直线的距离的比是常数，又斜率为的直线与曲线交于不同的两点。（Ⅰ）求曲线的方程；...

问题详情：

已知曲线上的点与定点的距离与它到直线的距离的比是常数，又斜率为的直线与曲线交于不同的两点。

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）若，求 的最大值；

（Ⅲ）设，直线与曲线的另一个交点为，直线与曲线的另一个交点为.若和点 共线，求的值。

【回答】

【详解】解：（Ⅰ）根据题意可得：

整理得：

故曲线 的方程为

（Ⅱ）设直线 的方程为，

由消去 可得

则

设则

则

易得当，，故的最大值为

（Ⅲ）设

则   ①，  ②，

又，所以可设，直线 的方程为

由消去可得

则

即

代入①式可得，所以

所以，同理可得  

因为三点共线，所以

将点的坐标代入化简可得，即 ．

【点睛】本题考查了直线与曲线的位置关系，一般需要设出点坐标，联立直线方程与曲线方程结合弦长公式求出最值问题，本题需要一定的计算能力

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题