如图，三棱锥的侧面是等腰直角三角形，，，，且．（1）求*：平面平面；（2）求二面角的余弦值．

问题详情：

如图，三棱锥的侧面是等腰直角三角形，，，

，且．

（1）求*：平面平面；

（2）求二面角的余弦值．

【回答】

解：（1）*：如图，取BD中点E，连结、，················ 1分

因为是等腰直角三角形，

所以，··························· 2分

设，则，···················· 3分

在中，由余弦定理得：

，············ 4分

因为，，

所以，即，·················· 5分

又，，

所以平面，

所以平面平面；···················· 6分

（2）解法一：过点E在平面内作交于点F，由（I）知平面，

分别以为x轴，y轴，z轴建立如图空间直角坐标系，····· 7分

不妨设，

则：，············· 8分

则，，，·········· 9分

设平面的法向量，

则，取，··········· 10分

设平面的法向量，

则，取，········ 11分

所以，

因为二面角的平面角是锐角，

所以二面角的余弦值为.······························· 12分

解法二：过点D作DN⊥AC于点N，

设D在平面ABC上的*影为M，连接MN，

则AC⊥MN，所以∠DNM为所求二面角的平面角，·············································· 7分

设AB=1,则AD=1,BD=CD=，AC=2，BC=,

在△ADC中，cos∠DAC=,

所以DN=,································ 8分

在△ABC中，cos∠BAC=,所以sin∠BAC=,········································· 9分

由,

所以,

即,························································ 11分

在△DMN中，sin∠DNM=,

所以cos∠DNM=,

所以二面角的余弦值为.

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题