在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=12.点D在直线CB上,以CA,CD为边作矩形ACDE,直线AB与直...
问题详情:
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=12.点D在直线CB上,以CA,CD为边作矩形ACDE,直线AB与直线CE,DE的交点分别为F,G.
(1)如图,点D在线段CB上,四边形ACDE是正方形.
①若点G为DE的中点,求FG的长.
②若DG=GF,求BC的长.
(2)已知BC=9,是否存在点D,使得△DFG是等腰三角形?若存在,求该三角形的腰长;若不存在,试说明理由.
【回答】
.解:(1)①在正方形ACDE中,DG=GE=6,
中Rt△AEG中,AG==6,
∵EG∥AC,
∴△ACF∽△GEF,
∴=,
∴==,
∴FG=AG=2.
②如图1中,正方形ACDE中,AE=ED,∠AEF=∠DEF=45°,
∵EF=EF,
∴△AEF≌△DEF,
∴∠1=∠2,设∠1=∠2=x,
∵AE∥BC,
∴∠B=∠1=x,
∵GF=GD,
∴∠3=∠2=x,
在△DBF中,∠3+∠FDB+∠B=180°,
∴x+(x+90°)+x=180°,
解得x=30°,
∴∠B=30°,
∴在Rt△ABC中,BC==12.
(2)在Rt△ABC中,AB===15,
如图2中,当点D中线段BC上时,此时只有GF=GD,
∵DG∥AC,
∴△BDG∽△BCA,
设BD=3x,则DG=4x,BG=5x,
∴GF=GD=4x,则AF=15﹣9x,
∵AE∥CB,
∴△AEF∽△BCF,
∴=,
∴=,
整理得:x2﹣6x+5=0,
解得x=1或5(舍弃)
∴腰长GD=4x=4.
如图3中,当点D中线段BC的延长线上,且直线AB,CE的交点中AE上方时,此时只有GF=DG,设AE=3x,则EG=4x,AG=5x,
∴FG=DG=12+4x,
∵AE∥BC,
∴△AEF∽△BCF,
∴=,
∴=,
解得x=2或﹣2(舍弃),
∴腰长DG=4x+12=20.
如图4中,当点D在线段BC的延长线上,且直线AB,EC的交点中BD下方时,此时只有DF=DG,过点D作DH⊥FG.
设AE=3x,则EG=4x,AG=5x,DG=4x+12,
∴FH=GH=DG•cos∠DGB=(4x+12)×=,
∴GF=2GH=,
∴AF=GF﹣AG=,
∵AC∥DG,
∴△ACF∽△GEF,
∴=,
∴=,
解得x=或﹣(舍弃)
∴腰长GD=4x+12=,
如图5中,当点D中线段CB的延长线上时,此时只有DF=DG,作DH⊥AG于H.
设AE=3x,则EG=4x,AG=5x,DG=4x﹣12,
∴FH=GH=DG•cos∠DGB=,
∴FG=2FH=,
∴AF=AG﹣FG=,
∵AC∥EG,
∴△ACF∽△GEF,
∴=,
∴=,
解得x=或﹣(舍弃),
∴腰长DG=4x﹣12=,
综上所述,等腰△DFG的腰长为4或20或或.
知识点:相似三角形
题型:解答题
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