△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合),以AD为边在AD右侧作...
问题详情:
△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合),以AD为边在AD右侧作正方形ADEF,连接CF.
(1)观察猜想
如图1,当点D在线段BC上时,
①BC与CF的位置关系为: .
②BC,CD,CF之间的数量关系为: ;(将结论直接写在横线上)
(2)数学思考
如图2,当点D在线段CB的延长线上时,结论①,②是否仍然成立?若成立,请给予*;若不成立,请你写出正确结论再给予*.
(3)拓展延伸
如图3,当点D在线段BC的延长线上时,延长BA交CF于点G,连接GE.若已知AB=2,CD=BC,请求出GE的长.
【回答】
【考点】LO:四边形综合题.
【分析】(1)①根据正方形的*质得到∠BAC=∠DAF=90°,推出△DAB≌△FAC,根据全等三角形的*质即可得到结论;②由正方形ADEF的*质可推出△DAB≌△FAC,根据全等三角形的*质得到CF=BD,∠ACF=∠ABD,根据余角的*质即可得到结论;
(2)根据正方形的*质得到∠BAC=∠DAF=90°,推出△DAB≌△FAC,根据全等三角形的*质以及等腰直角三角形的角的*质可得到结论.
(3)根据等腰直角三角形的*质得到BC=AB=4,AH=BC=2,求得DH=3,根据正方形的*质得到AD=DE,∠ADE=90°,根据矩形的*质得到NE=CM,EM=CN,由角的*质得到∠ADH=∠DEM,根据全等三角形的*质得到EM=DH=3,DM=AH=2,等量代换得到CN=EM=3,EN=CM=3,根据等腰直角三角形的*质得到CG=BC=4,根据勾股定理即可得到结论.
【解答】解:(1)①正方形ADEF中,AD=AF,
∵∠BAC=∠DAF=90°,
∴∠BAD=∠CAF,
在△DAB与△FAC中,,
∴△DAB≌△FAC,
∴∠B=∠ACF,
∴∠ACB+∠ACF=90°,即BC⊥CF;
故*为:垂直;
②△DAB≌△FAC,
∴CF=BD,
∵BC=BD+CD,
∴BC=CF+CD;
故*为:BC=CF+CD;
(2)CF⊥BC成立;BC=CD+CF不成立,CD=CF+BC.
∵正方形ADEF中,AD=AF,
∵∠BAC=∠DAF=90°,
∴∠BAD=∠CAF,
在△DAB与△FAC中,,
∴△DAB≌△FAC,
∴∠ABD=∠ACF,
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ACB=∠ABC=45°.
∴∠ABD=180°﹣45°=135°,
∴∠BCF=∠ACF﹣∠ACB=135°﹣45°=90°,
∴CF⊥BC.
∵CD=DB+BC,DB=CF,
∴CD=CF+BC.
(3)解:过A作AH⊥BC于H,过E作EM⊥BD于M,EN⊥CF于N,
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴BC=AB=4,AH=BC=2,
∴CD=BC=1,CH=BC=2,
∴DH=3,
由(2)*得BC⊥CF,CF=BD=5,
∵四边形ADEF是正方形,
∴AD=DE,∠ADE=90°,
∵BC⊥CF,EM⊥BD,EN⊥CF,
∴四边形CMEN是矩形,
∴NE=CM,EM=CN,
∵∠AHD=∠ADE=∠EMD=90°,
∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°,
∴∠ADH=∠DEM,
在△ADH与△DEM中,,
∴△ADH≌△DEM,
∴EM=DH=3,DM=AH=2,
∴CN=EM=3,EN=CM=3,
∵∠ABC=45°,
∴∠BGC=45°,
∴△BCG是等腰直角三角形,
∴CG=BC=4,
∴GN=1,
∴EG==.
知识点:特殊的平行四边形
题型:综合题
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