如图*,在△ABC中,∠ACB为锐角.点D为*线BC上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作等腰直角三...
问题详情:
如图*,在△ABC中,∠ACB为锐角.点D为*线BC上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作等腰直角三角形ADE,AD=AE,∠DAE=90º.解答下列问题:
(1) 如果AB=AC,∠BAC=90º.
①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图乙,线段CE、BD之间的位置关系为,数量关系为.(不用*)
②当点D在线段BC的延长线上时,如图*,①中的结论是否仍然成立,为什么?
(2) 如果AB≠AC,∠BAC≠90º,点D在线段BC上运动.
试探究:当△ABC满足一个什么条件时,CE⊥BD(点C、E重合除外)?画出相应的图形,并说明理由.
【回答】
见解析
【解析】
试题分析:(1)①根据∠BAD=∠CAE,BA=CA,AD=AE,运用“SAS”*△ABD≌△ACE,根据全等三角形*质得出对应边相等,对应角相等,即可得到线段CE、BD之间的关系;②先根据“SAS”*△ABD≌△ACE,再根据全等三角形*质得出对应边相等,对应角相等,即可得到①中的结论仍然成立;
(2)先过点A作AG⊥AC交BC于点G,画出符合要求的图形,再结合图形判定△GAD≌△CAE,得出对应角相等,即可得出结论.
试题解析:(1)①CE与BD位置关系是CE⊥BD,数量关系是CE=BD.
理由:如图乙,
∵∠BAD=90°−∠DAC,∠CAE=90°−∠DAC,
∴∠BAD=∠CAE.
又BA=CA,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS)
∴∠ACE=∠B=45°且CE=BD.
∵∠ACB=∠B=45°,
∴∠ECB=45°+45°=90°,即CE⊥BD.
故*为:CE⊥BD;CE=BD.
②当点D在BC的延长线上时,①的结论仍成立.
如图*,
∵∠DAE=90°,∠BAC=90°,
∴∠DAE=∠BAC,
∴∠DAB=∠EAC,
又AB=AC,AD=AE,
∴△DAB≌△EAC,
∴CE=BD,且∠ACE=∠ABD.
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ABC=45°,
∴∠ACE=45°,
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°,
即 CE⊥BD;
(2)如图丁所示,当∠BCA=45°时,CE⊥BD.
理由:过点A作AG⊥AC交BC于点G,
∴AC=AG,∠AGC=45°,
即△ACG是等腰直角三角形,
∵∠GAD+∠DAC=90°=∠CAE+∠DAC,
∴∠GAD=∠CAE,
又∵DA=EA,
∴△GAD≌△CAE,
∴∠ACE=∠AGD=45°,
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°,
即CE⊥BD.
点睛:此题为三角形综合题,主要考查了全等三角形的判定与*质以及等腰直角三角形的*质,解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形,根据全等三角形的对应边相等,对应角相等进行求解.
知识点:三角形全等的判定
题型:解答题
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