如图,点A,B,C在一条直线上,△ABD,△BCE均为等边三角形,连接AE和CD,AE分别交CD,BD于点M,...
问题详情:
如图,点A,B,C在一条直线上,△ABD,△BCE均为等边三角形,连接AE和CD,AE分别交CD,BD于点M,P,CD交BE于点Q,连接PQ,下面结论:
①△ABE≌△DBC;②∠DMA=60°;③△BPQ为等边三角形;④PQ∥AC.
其中结论正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【回答】
D【考点】全等三角形的判定与*质;等边三角形的判定与*质.
【分析】①由等边三角形的*质得出AB=DB,∠ABD=∠CBE=60°,BE=BC,得出∠ABE=∠DBC,由SAS即可*出△ABE≌△DBC;
②由△ABE≌△DBC,得出∠BAE=∠BDC,根据三角形外角的*质得出∠DMA=60°;
③由ASA*△ABP≌△DBQ,得出对应边相等BP=BQ,即可得出△BPQ为等边三角形;
④推出△BPQ是等边三角形,得到∠PBQ=60°,根据平行线的*质即可得到PQ∥AC,故④正确.
【解答】解:∵△ABD、△BCE为等边三角形,
∴AB=DB,∠ABD=∠CBE=60°,BE=BC,
∴∠ABE=∠DBC,∠PBQ=60°,
在△ABE和△DBC中,
∵,
∴△ABE≌△DBC(SAS),
∴①正确;
∵△ABE≌△DBC,
∴∠BAE=∠BDC,
∵∠BDC+∠BCD=180°﹣60°﹣60°=60°,
∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°,
∴②正确;
在△ABP和△DBQ中,
∵,
∴△ABP≌△DBQ(ASA),
∴BP=BQ,
∴△BPQ为等边三角形,
∴③正确;
∵BP=BQ,∠PBQ=60°,
∴△BPQ是等边三角形,
∴∠PQB=60°,
∴∠PQB=∠QBC,
∴PQ∥AC,
故④正确.
故选D.
【点评】此题考查了等边三角形的判定与*质与全等三角形的判定与*质,平行线的判定和*质,此题图形比较复杂,解题的关键是仔细识图,找准全等的三角形.
知识点:三角形全等的判定
题型:选择题
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