如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若...

问题详情：

如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE= ，AD= ，则两个三角形重叠部分的面积为（）

A. B. C. D.

【回答】

【考点】三角形的面积，全等三角形的判定与*质，勾股定理，相似三角形的判定与*质，等腰直角三角形

【解析】【解答】解：连接BD，作CH⊥DE， ∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形， ∴∠ACB=∠ECD=90°,∠ADC=∠CAB=45°, 即∠ACD+∠DCB=∠ACD+∠ACE=90°， ∴∠DCB=∠ACE，在△DCB和△ECA中， , ∴△DCB≌△ECA， ∴DB=EA= ,∠CDB=∠E=45°, ∴∠CDB+∠ADC=∠ADB=90°，在Rt△ABD中， ∴AB= =2 ，在Rt△ABC中， ∴2AC2=AB2=8， ∴AC=BC=2，在Rt△ECD中， ∴2CD2=DE2= ， ∴CD=CE= +1， ∵∠ACO=∠DCA，∠CAO=∠CDA， ∴△CAO∽△CDA， ∴ ： = = =4-2 ，又∵ = CE = DE·CH， ∴CH= = ， ∴ = AD·CH= × × = ， ∴ =（4-2 ）× =3- . 即两个三角形重叠部分的面积为3- . 故*为：D. 【分析】解：连接BD，作CH⊥DE，根据等腰直角三角形的*质可得∠ACB=∠ECD=90°,∠ADC=∠CAB=45°,再由同角的余角相等可得∠DCB=∠ACE；由SAS得△DCB≌△ECA，根据全等三角形的*质知DB=EA= ,∠CDB=∠E=45°,从而得∠ADB=90°，在Rt△ABD中，根据勾股定理得AB=2 ，同理可得AC=BC=2，CD=CE= +1；由相似三角形的判定得△CAO∽△CDA，根据相似三角形的*质：面积比等于相似比的平方从而得出两个三角形重叠部分的面积.