已知函数(a为常数).(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与两坐标轴围成的三角形的...
问题详情:
已知函数(a为常数).
(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)若存在使得,求a的取值范围.
【回答】
(1);(2).
【解析】
(1)求出在处的导数值,即切线斜率,再求出,即可求出切线方程,求出切线在坐标轴上的截距即可求出三角形面积;
(2)分和两种情况讨论函数的单调*,求出的最小值,满足即可求出的范围.
【详解】
(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),因为,
当a=0时,,,切线方程为,
令x=0,解,令y=0,解得所以
(2)若要存在使得,则只需f(x)在[1,+∞)上的最小值小于0即可,
当时,在(1,+∞)恒成立,函数f(x)在x=1处取得最小值,
所以,解得;
当时,函数在[1,a)上单调递减,在[a,+∞)上单调递增,
则当x=a时取得极小值也是最小值,
由,解得,
综上可得:a的取值范围是.
【点睛】
本题考查利用导数求切线问题,考查利用导数研究不等式能成立问题,属于中档题.
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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