已知函数,其中为常数.若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等,求的值;若对,都有,求的取值范围.
问题详情:
已知函数,其中为常数.
若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等,求的值;
若对,都有,求的取值范围.
【回答】
【解析】
【分析】
(1)求出切点坐标,写出切线方程,利用切线在两坐标轴上的截距相等,求得a即可.
(2)对a分类讨论,易判断当或当时,在区间内是单调的,根据单调*得出结论,当时,在区间内单调递增,在区间内单调递减, 故,又因为,成立.而的最大值为,将最大值构造新函数,通过导函数的符号判断函数的单调*求解函数的最值,然后求解结果.
【详解】求导得,所以.
又,所以曲线在处的切线方程为.
由切线在两坐标轴上的截距相等,得,解得即为所求.
对,,所以在区间内单调递减.
①当时,,所以在区间内单调递减,故,由恒成立,得,这与矛盾,故舍去.
②当时,,所以在区间内单调递增,故,即,由恒成立得,结合得.
③当时,因为,,且在区间上单调递减,结合零点存在定理可知,存在唯一,使得,且在区间内单调递增,在区间内单调递减.
故,由恒成立知,,,所以.
又的最大值为,由得,
所以.
设,则,所以在区间内单调递增,于是,即.所以不等式恒成立.
综上所述,所求的取值范围是.
【点睛】本题考查导数的几何意义及利用导数研究函数的单调*以及函数的最值的求法,构造新函数以及二次导数是解决函数恒成立问题常用的方法,考查转化思想以及计算能力.
知识点:三角函数
题型:解答题
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