已知函数，，当时，与的图象在处的切线相同.（1）求的值；（2）令，若存在零点，求实数的取值范围.

问题详情：

已知函数，，当时，与的图象在处的切线相同.

（1）求的值；

（2）令，若存在零点，求实数的取值范围.

【回答】

（1）4（2）

试题分析：（1）根据导数几何意义得，分别求导得，，即得（2）研究函数零点问题，一般利用变量分离法转化为对应函数值域问题：即求函数的值域，先求函数导数，再研究导函数零点，设，则，而，所以在上为减函数，在上为增函数，.

试题解析：(1)当时，

，则，又，所以在处的切线方程为，又因为和的图像在处的切线相同，

所以.（4分）

(2)因为有零点

所以

即有实根.

令

令

则恒成立，而，

所以当时，，当时，.

所以当时，，当时，.

故在上为减函数，在上为增函数，即.

当时，，当时，.

根据函数的大致图像可知.（12分）

考点：导数几何意义，利用导数求函数值域

【思路点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

知识点：基本初等函数I

题型：解答题