已知函数.(1)若曲线在点处的切线方程是,求函数在上的值域;(2)当时,记函数,若函数有三个零点,求实数的取值...
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已知函数.
(1)若曲线在点处的切线方程是,求函数在上的值域;
(2)当时,记函数,若函数有三个零点,求实数的取值范围.
【回答】
【详解】(1)因为,
所以,所以,
所以,即.
,,,
所以在上的值域为.
(2)(i)当时,,由,得,此时函数有三个零点,符合题意.
(ii)当时,.由,得.当时,;当时,.若函数有三个零点,则需满足且,解得.
(iii)当时,.由,得,.
①当,即时,因为,此时函数至多有一个零点,不符合题意;
②当,即时,因为,此时函数至多有两个零点,不符合题意;
③当,即时,
若,函数至多有两个零点,不符题意;
若,得,因为,所以,此时函数有三个零点,符合题意;
若,得,由,记,则,所以,此时函数有四个零点,不符合题意.
综上所述:满足条件的实数.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调*,考查利用导数求函数的极值,考查分类讨论的数学思想方法,属难题.
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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