已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点,离心率为.(1)求椭圆C的标...

问题详情：

已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点,离心率为.

(1)求椭圆C的标准方程.

(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M,若=m,=n,求m+n的值.

【回答】

 (1)设椭圆C的方程为+=1(a>b>0).

抛物线方程可化为x2=4y,其焦点为(0,1),

则椭圆C的一个顶点为(0,1),即b=1.

由e===.

得a2=5,所以椭圆C的标准方程为+y2=1.

(2)易求出椭圆C的右焦点F(2,0),

设A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0),显然直线l的斜率存在,设直线l的方程为

y=k(x-2),代入方程+y2=1,

得(1+5k2)x2-20k2x+20k2-5=0.

所以x1+x2=,x1x2=.

又=(x1,y1-y0),=(x2,y2-y0),

=(x1-2,y1),=(x2-2,y2).

因为=m,=n,

所以m=,n=,

所以m+n=,

又2x1x2-2(x1+x2)=

=-,

4-2(x1+x2)+x1x2

=4-+=,

所以m+n=10.

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题