已知椭圆中心在原点,焦点在x轴上,离心率,点F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,过右焦点F2且垂直于长轴的弦长为...
问题详情:
已知椭圆中心在原点,焦点在x轴上,离心率,点F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,过右焦点F2且垂直于长轴的弦长为
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过椭圆的左焦点F1作直线l,交椭圆于P,Q两点,若,求直线l的倾斜角.
【回答】
考点:
直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.
专题:
圆锥曲线中的最值与范围问题.
分析:
(1)设椭圆的标准方程为.右焦点F2(c,0),把x=c代入椭圆方程得,解得.可得.利用离心率计算公式及a,b,c的关系可得,解出即可.
(2)设直线l与椭圆的交点P(x1,y1),Q(x2,y2).分当直线l的斜率为0和不为时讨论,斜率不为0时设直线l的方程为my=x+1,与椭圆的方程联立,得到根与系数的关系,再利用数量积,即可得出.直线l的斜率为0时比较简单.
解答:
解:(1)由题意可设椭圆的标准方程为.
右焦点F2(c,0),把x=c代入椭圆方程得,解得.
∴.
联立,解得.
∴椭圆的标准方程为.
(2)设直线l与椭圆的交点P(x1,y1),Q(x2,y2).
①当直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为my=x+1.
联立,得(2+m2)y2﹣2my﹣1=0.
∴,.
∵2==(x1﹣1,y1)•(x2﹣1,y2)=(my1﹣2,y1)•(my2﹣2,y2)=(m2+1)y1y2﹣2m(y1+y2)+4,
∴2=,
化为m2=1,解得m=±1,
∴直线l的斜率k==±1.
设直线的倾斜角为α,则tanα=±1.
∴或.
②当直线l的斜率为0时,P,Q.
==﹣1≠2,不符合题意,应舍去.
综上可知:直线l的倾斜角α为或.
点评:
本题综合考查了椭圆的标准方程及其*质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量的数量积等基础知识与基本技能,考查了分类讨论的思想方法、推理能力和计算能力.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:综合题
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