设椭圆的焦点在轴上，离心率为，抛物线的焦点在轴上，的中心和的顶点均为原点，点在上，点在上，（1）求曲线，的标准...

问题详情：

设椭圆的焦点在轴上，离心率为，抛物线的焦点在轴上， 的中心和的顶点均为原点，点在上，点在上，

（1）求曲线， 的标准方程；

（2）请问是否存在过抛物线的焦点的直线与椭圆交于不同两点，使得以线段为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

【回答】

解：

（1）设的方程为，则.所以椭圆的方程为.点在上，设的方程为，则由，得.所以抛物线的方程为.

（2）因为直线过抛物线的焦点.当直线的斜率不存在时，点，或点，显然以线段为直径的圆不过原点，故不符合要求；

当直线的斜率存在时，设为，则直线的方程为，

代入的方程，并整理得.

设点，则，

.

因为以线段为直径的圆过原点，所以，所以，所以，所以.化简得，无解.

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题