已知中心在坐标原点、焦点在轴上椭圆的离心率,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.⑴求该椭圆的标准...
问题详情:
已知中心在坐标原点、焦点在轴上椭圆的离心率,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
⑴求该椭圆的标准方程;
⑵设椭圆的左,右焦点分别是和,直线且与轴垂直,动直线轴垂直,于点,求线段的垂直平分线与的交点的轨迹方程,并指明曲线类型.
【回答】
解: ⑴依题意设所求椭圆方程为
得: ①
又以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
即原点到直线的距离为,所以
代入①中得
所以,所求椭圆方程为 . ……6分
⑵由得、点的坐标分别为,,
设点的坐标为,由题意:点坐标为,因为线段的垂直平分线与的交点为,
所以 故线段的垂直平分线与的交点的轨迹方程是,
该轨迹是以为焦点的抛物线. ……13分
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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