如图,等腰三角形ABC中,AC=BC=10,AB=12,以BC为直径作⊙O交AB于点D,交AC于点G,DF⊥A...
问题详情:
如图,等腰三角形ABC中,AC=BC=10,AB=12,以BC为直径作⊙O交AB于点D,交AC于点G,DF⊥AC,垂足为F,交CB的延长线于点E.
(1)求*:直线EF是⊙O的切线;
(2)求cos∠E的值.
【回答】
【考点】切线的判定;勾股定理.
【专题】*题.
【分析】(1)求*直线EF是⊙O的切线,只要连接OD*OD⊥EF即可;
(2)根据∠E=∠CBG,可以把求cos∠E的值得问题转化为求cos∠CBG,进而转化为求Rt△BCG中,两边的比的问题.
【解答】(1)*:如图,
方法1:连接OD、CD.
∵BC是直径,
∴CD⊥AB.
∵AC=BC.
∴D是AB的中点.
∵O为CB的中点,
∴OD∥AC.
∵DF⊥AC,
∴OD⊥EF.
∴EF是O的切线.
方法2:∵AC=BC,
∴∠A=∠ABC,
∵OB=OD,
∴∠DBO=∠BDO,
∵∠A+∠ADF=90°
∴∠EDB+∠BDO=∠A+∠ADF=90°.
即∠EDO=90°,
∴OD⊥ED
∴EF是O的切线.
(2)解:连BG.
∵BC是直径,
∴∠BDC=90°.
∴CD==8.
∵AB•CD=2S△ABC=AC•BG,
∴BG==.
∴CG==.
∵BG⊥AC,DF⊥AC,
∴BG∥EF.
∴∠E=∠CBG,
∴cos∠E=cos∠CBG==.
【点评】本题考查的是切线的判定,要*某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心和这点(即为半径),再*垂直即可.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题
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