如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D在上，点E在弦AB上（E不与A重合），且四边形BDCE为菱形．（1）求*...

问题详情：

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D在上，点E在弦AB上（E不与A重合），且四边形BDCE为菱形．

（1）求*：AC=CE；

（2）求*：BC2﹣AC2=AB•AC；

（3）已知⊙O的半径为3．

①若=，求BC的长；

②当为何值时，AB•AC的值最大？

【回答】

【解答】解：（1）∵四边形EBDC为菱形，

∴∠D=∠BEC，

∵四边形ABDC是圆的内接四边形，

∴∠A+∠D=180°，

又∠BEC+∠AEC=180°，

∴∠A=∠AEC，

∴AC=AE；

（2）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CF=CG，

由（1）知AC=CE=CD，

∴CF=CG=AC，

∵四边形AEFG是⊙C的内接四边形，

∴∠G+∠AEF=180°，

又∵∠AEF+∠BEF=180°，

∴∠G=∠BEF，

∵∠EBF=∠GBA，

∴△BEF∽△BGA，

∴=，即BF•BG=BE•AB，

∵BF=BC﹣CF=BC﹣AC、BG=BC+CG=BC+AC，BE=CE=AC，

∴（BC﹣AC）（BC+AC）=AB•AC，即BC2﹣AC2=AB•AC；

（3）设AB=5k、AC=3k，

∵BC2﹣AC2=AB•AC，

∴BC=2k，

连接ED交BC于点M，

∵四边形BDCE是菱形，

∴DE垂直平分BC，

则点E、O、M、D共线，

在Rt△DMC中，DC=AC=3k，MC=BC=k，

∴DM==k，

∴OM=OD﹣DM=3﹣k，

在Rt△COM中，由OM2+MC2=OC2得（3﹣k）2+（k）2=32，

解得：k=或k=0（舍），

∴BC=2k=4；

②设OM=d，则MD=3﹣d，MC2=OC2﹣OM2=9﹣d2，

∴BC2=（2MC）2=36﹣4d2，

AC2=DC2=DM2+CM2=（3﹣d）2+9﹣d2，

由（2）得AB•AC=BC2﹣AC2

=﹣4d2+6d+18

=﹣4（d﹣）2+，

∴当x=，即OM=时，AB•AC最大，最大值为，

∴DC2=，

∴AC=DC=，

∴AB=，此时=．

【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆的有关*质、圆内接四边形的*质及菱形的*质、相似三角形的判定与*质、二次函数的*质等知识点．

知识点：各地中考

题型：解答题