如图,四边形ABCD为矩形,E为BC边中点,以AD为直径的⊙O与AE交于点F.(1)求*:四边形AOCE为平行...
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如图,四边形ABCD为矩形,E为BC边中点,以AD为直径的⊙O与AE交于点F.
(1)求*:四边形AOCE为平行四边形;
(2)求*:CF与⊙O相切;
(3)若F为AE的中点,求∠ADF的大小.
【回答】
【考点】圆的综合题.
【分析】(1)根据矩形的*质得到AD∥BC,AD=BC,∠ADC=90°,由E为BC边中点,AO=DO,得到AO=AD,EC=BC,等量代换得到AO=EC,AO∥EC,即可得到结论;
(2)利用平行四边形的判定方法得出四边形OAEC是平行四边形,进而得出△ODC≌△OFC(SAS),求出OF⊥CF,进而得出*;
(3)如图,连接DE,由AD是直径,得到∠AFD=90°,根据点F为AE的中点,得到DF为AE的垂直平分线,根据线段垂直平分线的*质得到DE=AD,推出△ABE≌△DCE,根据全等三角形的*质得到AE=DE,推出三角形ADE为等边三角形,即可得到结论.
【解答】(1)*:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,AD=BC,∠ADC=90°,
∵E为BC边中点,AO=DO,
∴AO=AD,EC=BC,
∴AO=EC,AO∥EC,
∴四边形OAEC是平行四边形;
(2)如图1,连接OF,
∵四边形OAEC是平行四边形
∴AE∥OC,
∴∠DOC=∠OAF,
∠FOC=∠OFA,
∵OA=OF,
∴∠OAF=∠OFA,
∴∠DOC=∠FOC,
在△ODC与△OFC中,,
∴△ODC≌△OFC(SAS),
∴∠OFC=∠ODC=90°,
∴OF⊥CF,
∴CF与⊙O相切;
(3)如图2,连接DE,
∵AD是直径,
∴∠AFD=90°,
∵点F为AE的中点,
∴DF为AE的垂直平分线,
∴DE=AD,
在△ABE与R△DCE中,
,
∴△ABE≌△DCE,
∴AE=DE,
∴AE=DE=AD,
∴三角形ADE为等边三角形,
∴∠DAF=60°,
∴∠ADF=30°.
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与*质以及勾股定理和平行四边形的判定、切线的判定等知识,得出△ODC≌△OFC是解题关键.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题
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