已知函数f(x)＝2x3－3(k＋1)x2＋6kx＋t，其中k，t为实数，记区间[－2，2]为I．  （1）若...

问题详情：

已知函数f (x)＝2x3－3(k＋1)x2＋6kx＋t，其中k，t为实数，记区间[－2，2]为I．

   （1）若函数f (x)的图像与x轴相切于点(2，0)，求k，t的值；

   （2）已知k≥1，如果存在x0∈(－2，2)，使得f (x0)为f (x)在I上的最大值，求k的取值范围；

   （3）已知－＜k＜－3，若对于任意x∈I，都有f (x)≥6(x－2)ex，求t的最小值．（e2≈7.39）

【回答】

（1）f′(x)＝6x2－6(k＋1)x＋6k＝6(x－1)(x－k)，

因为函数f (x)的图像与x轴相切于点(2，0)，于是f (2)＝0，f′(2)＝0，

即2－k＝0，16－12(k＋1)＋12k＋t＝0，解得k＝2，t＝－4．

（2）当k≥2时，f (x)在(－2，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，

于是存在x0＝1，使得f (x0)为f (x)在I上的最大值；

当k＝1时，f′(x)≥0恒成立，故f (x)在I上单调递增，

故不存在x0∈(－2，2)，使得f (x0)为f (x)在I上的最大值；

当1＜k＜2时，f (x)在(－2，1)上单调递增，在(1，k)上单调递减，在(k，2)上单调递增，

于是若存在x0∈(－2，2)，使得f (x0)为f (x)在I上的最大值，则必有f (1)≥f (2)，

即k≥，又1＜k＜2，于是≤k＜2；

综上，k≥．

（3）对于任意x∈I，都有f (x)≥6(x－2)ex，

即对于任意x∈I，都有2x3－3(k＋1)x2＋6kx＋t≥6(x－2)ex

 即t≥6(x－2)ex－2x3＋3(k＋1)x2－6kx

 设g (x)＝6(x－2)ex－2x3＋3(k＋1)x2－6kx，x∈[－2，2]，

 则g′(x)＝6(x－1)( ex－x＋k)，令h(x)＝ex－x＋k，x∈[－2，2]，

 则h′(x)＝ex－1，于是h(x)在(－2，0)上单调递减，在(0，2)上单调递增，

 又h(－2)＝＋2＋k＜＋2－3＝－1＜0，于是当x∈[－2，0]时h(x)＜0恒成立，

又h(1)＝e－1＋k＜e－1－3＝e－4＜0，h(2)＝e2－2＋k＞e2－2－＝e2－＞0，

因此h(x)＝ex－x＋k，x∈[－2，2]存在唯一的零点x0∈(1，2)，

于是g (x)在(－2，1)上单调递增，在(1，x0)上单调递减，在(x0，2)上单调递增，

所以g (x)max＝max{ g (1)，g (2)}．

又g (1)－g (2)＝(1－6e－3k)－(－4)＝5－6e－3k＜5－6e－3(－)＝15－6e＜0，于是g (1)＜g (2)，

所以g (x)max＝g (2)＝－4，即t≥－4，因此t的最小值是－4．

【说明】本题主要考查利用导数求函数的最值，分类讨论思想及函数极值点常见的处理方法．其中第三问要能通过给定的k的范围比较相关量的大小．

知识点：导数及其应用

题型：解答题