已知函数f(x)=x3-x2+bx+c. (1)若f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,求b的取值范围;(2...
问题详情:
已知函数f(x)=x3-x2+bx+c.
(1)若f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,求b的取值范围;
(2)若f(x)在x=1处取得极值,且x∈[-1,2]时,f(x)<c2恒成立,求c的取值范围.
【回答】
解: (1)f′(x)=3x2-x+b,因f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,则f′(x)≥0,即3x2-x+b≥0,
∴b≥x-3x2在(-∞,+∞)上恒成立.
设g(x)=x-3x2.
当x=时,g(x)max=,∴b≥.
(2)由题意知f′(1)=0,即3-1+b=0,∴b=-2.
x∈[-1,2]时,f(x)<c2恒成立,只需f(x)在[-1,2]上的最大值小于c2即可.因f′(x)=3x2-x-2,令f′(x)=0,得x=1或x=-.∵f(1)=-+c,
f=+c,f(-1)=+c,
f(2)=2+c.
∴f(x)max=f(2)=2+c,∴2+c<c2.解得c>2或c<-1,所以c的取值范围为(-∞,
-1)∪(2,+∞).
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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