已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1,x2.(1)求实数k的取值范围....
问题详情:
已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1,x2.
(1)求实数k的取值范围.
(2)是否存在实数k,使得x1x2﹣x12﹣x22=﹣16成立?若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.
【回答】
【解析】(1)根据判别式的意义得到△=(2k+1)2﹣4(k2+2k)≥0,然后解不等式即可;
(2)根据根与系数的关系得到x1+x2=2k+1,x1x2=k2+2k,再把x1x2﹣x12﹣x22=﹣16变形为﹣(x1+x2)2+3x1•x2=﹣16,所以﹣(2k+1)2+3(k2+2k)=﹣16,然后解方程后利用(1)中的范围确定满足条件的k的值.
解:(1)根据题意得△=(2k+1)2﹣4(k2+2k)≥0,解得k≤;
(2)根据题意得x1+x2=2k+1,x1x2=k2+2k,
∵x1x2﹣x12﹣x22=﹣16.∴x1x2﹣[(x1+x2)2﹣2x1x2]=﹣16,
即﹣(x1+x2)2+3x1•x2=﹣16,∴﹣(2k+1)2+3(k2+2k)=﹣16,
整理得k2﹣2k﹣15=0,
解得k1=5(舍去),k2=﹣3. ∴k=﹣3.
知识点:解一元二次方程
题型:解答题
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