若实数x、y、m满足|x﹣m|<|y﹣m|,则称x比y接近m.(1)若x2﹣1比3接近0,求x的取值范围;(2...
问题详情:
若实数x、y、m满足|x﹣m|<|y﹣m|,则称x比y接近m.
(1)若x2﹣1比3接近0,求x的取值范围;
(2)对任意两个不相等的正数a、b,*:a2b+ab2比a3+b3接近;
(3)已知函数f(x)的定义域D{x|x≠kπ,k∈Z,x∈R}.任取x∈D,f(x)等于1+sinx和1﹣sinx中接近0的那个值.写出函数f(x)的解析式,并指出它的奇偶*、最小正周期、最小值和单调*(结论不要求*).
【回答】
考点:
绝对值不等式的解法;其他不等式的解法.
专题:
计算题;压轴题;新定义;转化思想.
分析:
(1)根据新定义得到不等式|x2﹣1|<3,然后求出x的范围即可.
(2)对任意两个不相等的正数a、b,依据新定义写出不等式,利用作差法*:a2b+ab2比a3+b3接近;
(3)依据新定义写出函数f(x)的解析式,
直接写出它的奇偶*、最小正周期、最小值和单调*,即可.
解答:
解:(1)|x2﹣1|<3,0≤x2<4,﹣2<x<2
x∈(﹣2,2);
(2)对任意两个不相等的正数a、b,
有,,
因为,
所以,
即a2b+ab2比a3+b3接近;
(3),
k∈Z,f(x)是偶函数,f(x)是周期函数,
最小正周期T=p,函数f(x)的最小值为0,
函数f(x)在区间单调递增,
在区间单调递减,k∈Z.
点评:
本题是新定义题目,直线审题是能够解题的根据,新定义问题,往往是结合相关的知识,利用已有的方法求出所求结果.注意转化思想的应用.
知识点:不等式
题型:解答题
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