如图①，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣2，2），B（﹣2，0），C（0，2），D（2，0）四点，动点M以...

问题详情：

如图①，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣2，2），B（﹣2，0），C（0，2），D（2，0）四点，动点M以每秒个单位长度的速度沿B→C→D运动（M不与点B、点D重合），设运动时间为t（秒）．

（1）求经过A、C、D三点的抛物线的解析式；

（2）点P在（1）中的抛物线上，当M为BC的中点时，若△PAM≌△PBM，求点P的坐标；

（3）当M在CD上运动时，如图②．过点M作MF⊥x轴，垂足为F，ME⊥AB，垂足为E．设矩形MEBF与△BCD重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值；

（4）点Q为x轴上一点，直线AQ与直线BC交于点H，与y轴交于点K．是否存在点Q，使得△HOK为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

【回答】

解：（1）设函数解析式为y＝ax2+bx+c，

将点A（﹣2，2），C（0，2），D（2，0）代入解析式可得

，

∴，

∴y＝﹣﹣x+2；

（2）∵△PAM≌△PBM，

∴PA＝PB，MA＝MB，

∴点P为AB的垂直平分线与抛物线的交点，

∵AB＝2，

∴点P的纵坐标是1，

∴1＝﹣﹣x+2，

∴x＝﹣1+或x＝﹣1﹣，

∴P（﹣1﹣，1）或P（﹣1+，1）；

（3）CM＝t﹣2，MG＝CM＝2t﹣4，

MD＝4﹣（BC+CM）＝4﹣（2+t﹣2）＝4﹣t，

MF＝MD＝4﹣t，

∴BF＝4﹣4+t＝t，

∴S＝（GM+BF）×MF＝（2t﹣4+t）×（4﹣t）＝﹣+8t﹣8＝﹣（t﹣）2+；

当t＝时，S最大值为；

（3）设点Q（m，0），直线BC的解析式y＝﹣x+2，

直线AQ的解析式y＝﹣（x+2）+2，

∴K（0，），H（，），

∴OK2＝，OH2＝+，HK2＝+，

①当OK＝OH时，＝+，

∴m2﹣4m﹣8＝0，

∴m＝2+2或m＝2﹣2；

②当OH＝HK时，+＝+，

∴m2﹣8＝0，

∴m＝2或m＝﹣2；

③当OK＝HK时，＝+，不成立；

综上所述：Q（2+2，0）或Q（2﹣2，0）或Q（2，0）或Q（﹣2，0）；

知识点：各地中考

题型：综合题