已知：如图1，平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为（6，0），（0，2）．点D是...

问题详情：

已知：如图1，平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为（6，0），（0，2）．点D是线段BC上的一个动点（点D与点B，C不重合），过点D作直线y=﹣+b交折线O﹣A﹣B于点E．

（第26题图）

（1）在点D运动的过程中，若△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（2）如图2，当点E在线段OA上时，矩形OABC关于直线DE对称的图形为矩形O′A′B′C′，C′B′分别交CB，OA于点D，M，O′A′分别交CB，OA点N，E．求*：四边形DMEN是菱形；

（3）问题（2）中的四边形DMEN中，ME的长为　   　．

【回答】

解：（1）∵矩形OABC中，点A，C的坐标分别为（6，0），（0，2），

∴点B的坐标为（6，2）．

若直线经过点C（0，2），则b=2；

若直线经过点A（6，0），则b=3；

若直线经过点B（6，2），则b=5．

①当点E在线段OA上时，即2＜b≤3时，（如答图）

∵点E在直线上，

当y=0时，x=2b，

∴点E的坐标为（2b，0）．

∴S=．

②当点E在线段BA上时，即3＜b＜5时，（如答图）

∵点D，E在直线上

当y=2时，x=2b﹣4；

当x=6时，y=b﹣3，

∴点D的坐标为（2b﹣4，2），点E的坐标为（6，b﹣3）．

∴S=S矩形OABC﹣S△COD﹣S△OAE﹣S△DBE==﹣b2+5b．

综上可得

（2）*：如图．

∵四边形OABC和四边形O′A′B′C′是矩形

∴CB∥OA，C′B′∥O′A′，

即DN∥ME，DM∥NE．

∴四边形DMEN是平行四边形，且∠NDE=∠DEM．

∵矩形OABC关于直线DE对称的图形为四边形O′A′B′C′

∴∠DEM=∠DEN．

∴∠NDE=∠DEN．

∴ND=NE．

∴四边形DMEN是菱形．

（3）解：y=﹣x+b

当x=0时，y=b，

当y=0时，x=2b，

∴OQ=b，OE=2b

过DH⊥OE于点H，

∴DH=2，

∵∠QOE=90°，DH⊥OA，

∴DH∥OQ，

∴△DHE∽△QOE，

∴=，

即=，

∴HE=2DH=4，

设DM=ME=x，

在△DHM中，由勾股定理得：22+（4﹣x）2=x2，

解得x=2.5.

知识点：特殊的平行四边形

题型：综合题