如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A，C的坐标分别为（6，0），（4，3），经过B，C两点的抛...

问题详情：

如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A，C的坐标分别为（6，0），（4，3），经过B，C两点的抛物线与x轴的一个交点D的坐标为（1，0）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若∠AOC的平分线交BC于点E，交抛物线的对称轴于点F，点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，过点A作OE的垂线交BC于点H，点M，N分别为抛物线及其对称轴上的动点，是否存在这样的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．

【回答】

解：（1）∵平行四边形OABC中，A（6，0），C（4，3）

∴BC＝OA＝6，BC∥x轴

∴xB＝xC+6＝10，yB＝yC＝3，即B（10，3）

设抛物线y＝ax2+bx+c经过点B、C、D（1，0）

∴   解得：

∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x﹣

（2）如图1，作点E关于x轴的对称点E'，连接E'F交x轴于点P

∵C（4，3）

∴OC＝

∵BC∥OA

∴∠OEC＝∠AOE

∵OE平分∠AOC

∴∠AOE＝∠COE

∴∠OEC＝∠COE

∴CE＝OC＝5

∴xE＝xC+5＝9，即E（9，3）

∴直线OE解析式为y＝x

∵直线OE交抛物线对称轴于点F，对称轴为直线：x＝﹣7

∴F（7，）

∵点E与点E'关于x轴对称，点P在x轴上

∴E'（9，﹣3），PE＝PE'

∴当点F、P、E'在同一直线上时，PE+PF＝PE'+PF＝FE'最小

设直线E'F解析式为y＝kx+h

∴   解得：

∴直线E'F：y＝﹣x+21

当﹣x+21＝0时，解得：x＝

∴当PE+PF的值最小时，点P坐标为（，0）．

（3）存在满足条件的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行四边形．

设AH与OE相交于点G（t，t），如图2

∵AH⊥OE于点G，A（6，0）

∴∠AGO＝90°

∴AG2+OG2＝OA2

∴（6﹣t）2+（t）2+t2+（t）2＝62

∴解得：t1＝0（舍去），t2＝

∴G（，）

设直线AG解析式为y＝dx+e

∴   解得：

∴直线AG：y＝﹣3x+18

当y＝3时，﹣3x+18＝3，解得：x＝5

∴H（5，3）

∴HE＝9﹣5＝4，点H、E关于直线x＝7对称

①当HE为以点M，N，H，E为顶点的平行四边形的边时，如图2

则HE∥MN，MN＝HE＝4

∵点N在抛物线对称轴：直线x＝7上

∴xM＝7+4或7﹣4，即xM＝11或3

当x＝3时，yM＝﹣×9+×9﹣＝

∴M（3，）或（11，）

②当HE为以点M，N，H，E为顶点的平行四边形的对角线时，如图3

则HE、MN互相平分

∵直线x＝7平分HE，点F在直线x＝7上

∴点M在直线x＝7上，即M为抛物线顶点

∴yM＝﹣×49+×7﹣＝4

∴M（7，4）

综上所述，点M坐标为（3，）、（11，）或（7，4）．

知识点：各地中考

题型：综合题