如图①，在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B（0，4），点E（0，1），如图②，将△AEO沿x轴向左平...

问题详情：

如图①，在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B（0，4），点E（0，1），如图②，将△AEO沿x轴向左平移得到△A′E′O′，连接A′B、BE′。

（1）设AA′=m（m >0），试用含m的式子表示，并求出使取得最小值时点E′的坐标；

（2）当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标。

【回答】

（1）①若0＜m＜2，如图1，连接EE′，

∵点A（2，0），∴A′O=2－m。

在Rt△A′BO中，由，得

。

∵△A′E′O′是△AEO沿x轴向左平移得到的，

∴EE′∥AA′，且EE′=AA′。∴∠BEE′=90°，EE′=m。

又∵点B（0，4），点E（0，1），∴BE=OB－OE=3。

∴在Rt△BE′E中，。

∴。

又∵，

∴当m=1时，取得最小值，最小值为27，此时，点E′的坐标是（1，1）。

又∵点B（0，4），点E（0，1），∴BE=OB－OE=3。

∴在Rt△BE′E中，。

∴。

又∵，

∴当m≥2时， 随m的增大而增大，在m=2时，最小值为29，小于27。

综上所述，，取得最小值时点E′的坐标为（1，1）。

【考点】平移问题，相似三角形的判定和*质，平移的*质，勾股定理，二次函数最值，全等三角形的判定和*质，两点之间线段最短的*质。

知识点：相似三角形

题型：综合题